Démonstration complète du problème des cinq boîtes

Soit N le nombre total de jetons à repartir.
Soit m le nombre de jetons dans chacune des 3 boîtes blanches.
Soit p le nombre de jetons dans chacune des 2 boîtes noires.

On a : N = 3m + 2p

Si N est pair, il faut que 3m soit pair (en effet, 2p est toujours pair).
Þ m est pair

$ k Î N, tel que :
m = 2k
Donc 3m = 6k

Or 3m £ N
3 6k £ N
3 k £ N/6

Or k est un entier
Donc k £ E[N/6], où E[N/6] désigne la partie entière de N/6.

Donc 0 £ k £ 9 E [N/6]

Le nombre de valeurs de k étant solution de cette inéquation est E[N/6] + 1

Si N est impair, il faut que 3m soit impair (en effet, 2p est toujours pair).

Þ m est impair

$ k Î N, tel que :
m = 2k+ 1

Donc 3m = 6k+ 3

Or 3m £ N
3 6k + 3 £ N
3 6k £ (N - 3)
3 k £ (N - 3)/6

Or k est un entier
Donc k £ E[(N - 3)/6], où E[(N - 3)/6] désigne la partie entière de (N - 3)/6.

Donc 0 £ k £ E[(N - 3)/6]

Le nombre de valeurs de k étant solutions de cette inéquation est E[(N - 3)/6] + 1

Document François BOUCARD - Ecole LA GUIGNIERE - FONDETTES. Novembre 2001

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