Il est parfois possible de traiter des problèmes relatifs aux aires et périmètres sans utiliser de mesure.
Par exemple, pour comparer deux segments, il suffit d'utiliser le compas pour comparer leur longueur. Le fait de les mesurer permet alors de conclure, en comparant cette fois deux nombres, mais ce n'est pas indispensable.
On peut comparer des aires sans les mesurer.
La mesure intervient dès lors que l'on choisit une unité. Elle permet de quantifier la grandeur longueur. On parle de mesure de la longueur.
Pour les aires, c'est parfois plus compliqué.
Si une figure est entièrement inscrite dans l'autre, c'est que son aire est plus petite. Il est inutile de mesurer leur aire. Dans d'autres cas, un découpage-recollement (qui doit parfois être astucieux) permet de conclure. Certains autres cas sont réellement et mathématiquement problématiques comme par exemple la comparaison d'un disque et d'un carré si leur aire est proche l'une de l'autre .
Pour les comparer, les élèves peuvent utiliser (cf. Grand N, n° 42, janvier 88, pp. 47-54) les techniques suivantes :
L'aire et la mesure, Petit x numéro 24, pp. 5-36, 1989-1990, Marie-Jeanne Perrin-Glorian, IREM Paris 7.
Cet article montre la difficulté intrinsèque de la notion d'aire qui est construite mathématiquement à partir de la mesure. Une partie est consacrée à la polysémie des mots surface, superficie, aire (cf. dictionnaire). Le terme aire est "récent" dans l'enseignement élémentaire et son sens n'est pas encore fixé. On peut retenir que deux surfaces de formes différentes peuvent avoir des aires égales et à une même surface peuvent correspondre des nombres différents suivant l'unité choisie, mais l'aire, elle, ne change pas. On pourrait ajouter le mot étendue. Cet article étant la synthèse d'une recherche, quelques résultats sont donnés. Par exemple, le cas du parallélogramme qui est vu comme un rectangle déformé permet de croire que si la longueur des côtés ne varie pas, son aire non plus !
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Objet
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Grandeur
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Mesure de la grandeur
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| segment | longueur | mesure de la longueur |
| surface |
aire périmètre |
mesure de l'aire mesure du périmètre |
| solide | volume | mesure du volume |
| secteur angulaire | angle | mesure de l'angle |
Ce tableau peut être un repère pour l'enseignant. Il peut notamment lui permettre de mieux différencier les concepts travaillés avec les élèves.
Il n'est peut-être pas nécessaire de différencier ces concepts de façons trop formelle (notamment dans l'utilisation du vocabulaire). Dire "Je calcule l'aire" est un abus de langage courant et légitime. Le contexte permet de saisir le sens du mot utilisé.